Matematiksel Morfogenez: Kutupsal Eğriler Nedir?

Adını benzediği yürek şeklinden saha ve diğer adıyla "yürek eğrisi" olan kardiyoitler, çiçek formundaki güller, spiraller gibi eğriler; kutupsal fonksiyon grafikleri içerikına girer. Bu açıdan öncelikle kutupsal fonksiyonları kavramak, karmaşık eğrileri analizetti için çok önemlidir.

Kartezyen koordinat sistemi, yatay ve dikey mesafeler cinsinden yolları tanımlamak için kullanışlıyken kutupsal koordinat sistemi, kesin tek noktadan tam uzaklık ve açı cinsinden yolları tanımlamak için daha kullanışlıdır. Kepler'in Gezegen Hareketleri İlkeleri, gezegenlerin güneşin etrafında eliptik yörüngelerde hareket ettiğini savunur. Gezegenler sürekli hareket halindelerdir ve bu nedenle hiç tek gezegenin hepsi başlıkmunu belirledi yalnızca tek an için geçerlidir. Başka tek deyişle tek gezegenin yalnızca anlık başlıkmunu, (r,Θ)(r, \Theta)(r,Θ) ile temsilcilik edilen kutupsal koordinat sisteminin tek uygulamasıyla belirleyebiliriz. Bu sebeple işe, kutupsal koordinat sistemini tanıyarak başlayabiliriz.

Kutupsal Koordinat Sistemi

Kutupsal koordinat sistemindeki her arasında biri husus (r,Θ)(r, \Theta)(r,Θ) ile gösterilir. Burada rrr, orijinden noktaya olan mesafeyi (radyal uzaklık); Θ\ThetaΘ ise xxx ekseniyle pozitif, saatin ters yönünde, açıyı (açısal koordinat) temsilcilik eder.

Kartezyen koordinat sistemindeki (x,y)(x,y)(x,y) noktasına aşağıdaki dönüşümü yaparak kutupsal koordinat sistemine geçilebilir:

x=rcosΘx=rcos\Thetax=rcosΘ

y=rsinΘy=rsin\Thetay=rsinΘ

r2=x2+y2r^2=x^2+y^2r2=x2+y2

tanΘ=yxtan\Theta=\frac{y}{x}tanΘ=xy​

Burada tanΘ=y/xtan\Theta=y/xtanΘ=y/x ( ya da Θ=arctany/x\Theta=arctan y/xΘ=arctany/x) dönüşümü için Θ\ThetaΘ'nın hangi çeyrekte olduğunu dikkate eldeetti lüzummektedir.

Aynı özdeşlikler kullanılarak kutupsal koordinatlardan kartezyen koordinatlara geçiş yapılabilir.

Kutupsal Eğri Tipleri

Kutupsal eğriler oluşturulurken farklı şekiller ortaya çıkar. r rr ve Θ\ThetaΘ cinsinden hiç tek denklem, kutupsal eğri olarak çizilebilir ve dolayısıyla bu şekillerin sınırsız çeşidi vardır. Başlangıç için verilebilecek en basit örnekler doğru ve çember denklemleridir.

Bu doğru, direk noktasından (orijinden) geçmektedir ve çok basit tek denkleme sahiptir.

Örnekteki gibi kutuptan geçen tek doğrunun yaygınlaşan denklemi Θ=α\Theta=\alphaΘ=α şeklindedir. Buradaki α\alphaα açısı, doğrunun xxx ekseniyle yaptığı açıdır. Bunun dışında hiçbir değişken içermemektedir. Bu, doğrunun ebediyen uzarken α\alphaα açısının sabitlik kalacağı manaına gelir. Ayrıca hiç tek k tamsayısı için Θ=α+πk\Theta=\alpha+\pi kΘ=α+πk doğrusu ile Θ=α\Theta=\alphaΘ=α doğrusunun aynı olduğunu belirtmekte yarar var.

Kutup merkezli tek çemberin denklemi oldukça basittir.

Burada direk merkezli çemberin yaygınlaşan denklemi, a∈a \ina∈ R+\R^+R+ bulunmak üzere; r=ar=ar=a şeklindedir ve aaa, çemberin yarıçapıdır.

Kardiyoit

Kardiyoit, tek çember üzerinde sabitlenmiş tek noktanın aynı yarıçapa malik tek başka çember etrafında yuvarlanmasıyla oluşur. Ortaya çıkan şekil kalbe benzetilmektedir.

Kardiyoit eğrilerini oluşturan yaygınlaşan denklemler r=a±bcosΘr=a±bcos\Thetar=a±bcosΘ ve r=a±bsinΘr=a±bsin\Thetar=a±bsinΘ

şeklindedir ve ab=1\frac{a}{b}=1ba​=1 bulunmak üzere a,b∈R+a,b\in \R^+a,b∈R+ olmalıdır.

Burada a ve b kardiyoitin boyutunu tesirleyen sabitlerdir. Kardiyoitin özellikleri içinde tekbaşına tek sivri noktasının olması ve kutupsal eksene göre simetrik olması vardır.

Lemniskat

Lemniskat, sonsuzluk sembolüne benzeyen tek kutupsal eğridir. Kutupta merkezlenmiş tek lemniskat, simetriktir.

Bir lemniskatın grafiğini oluşturan yaygınlaşan denklemler a≠0a\neq0a=0 bulunmak üzere r2=a2cos2Θr^2=a^2cos2\Thetar2=a2cos2Θ ve r2=a2sin2Θr^2=a^2sin2\Thetar2=a2sin2Θ şeklindedir. Burada aaa, grafiğin boyutunu belirler.

Bu eğri daha önce da matematikçiler tarafından incelenmiş bununla birlikte 17. yüzyılın sonlarında Jakob Bernoulli'nin çalışmalarına kadar kullanılmamıştır. Bernoulli, 1694 yılında tek makalede bu eğriye Lemniskus (Latince kökenlidir ve sarkan kurdele manaına gelir) adını vermiştir. Bu çalışmaları daha sonraları Gauss ve Euler'in eğrinin yay uzunluğu üzerine yaptığı araştırmalara ve daha sonraları eliptik fonksiyonlar üzerine yapılan çalışmalara katkı sağlamıştır. Lemniskat, hiperbolün merkezine göre ters eğrisidir.

Arşimet Spirali

Sarmallar tek orta noktasından yayılan ve orijin etrafında dönerken gittikçe uzaklaşan eğrilerdir. Arşimet spiralinin yaygınlaşan denklemi r=a+bΘr=a+b\Thetar=a+bΘ şeklindedir. Burada sırasıyla aaa ve bbb, başlangıç yarıçapını ve dönüşler arasındaki mesafeyi belirleyen sabitlerdir. İsmini MÖ 3. yüzyılda yaşamış ve Spiraller Üzerine adlı kitabında bu eğrileri incelemiş olan matematikçi Arşimet'ten alır. Arşimet spiralinin başlangıç noktasından olan uzaklığı sabitlik tek hızla artarken sonsuz sayıda dönüşü vardır. Sürekli genişleyen ve hiç bitmeyen tek yolda izler. Sarmal merdivenler ve yıldız oluşumları gibi çeşitli uygulamalarda yaygın olarak kullanılır.

Gül Eğrileri

Gül eğrileri, taç yapraklarıyla karakterize edilen sinüzoidal kutupsal denklemlerdir. Bir gülün yaygınlaşan denklemi r=acos(kΘ)r=acos(k\Theta)r=acos(kΘ) ve r=asin(kΘ)r=asin(k\Theta)r=asin(kΘ) şeklindedir. Burada a, taç yapraklarının uzunluğunu, k ise taç yapraklarının sayısını belirler. Bu belirleme şu ikisi maddeler ile gerçekleşir:

• Eğer k tekbaşına sayı ise taç yaprakların sayısı k'dır.
• Eğer k çift sayı ise taç yaprakların sayısı 2k'dır.

Konikler

Kutup eğrileri bağlamında tek konik kesit, tek noktaya (odak noktası) olan uzaklık ile tek doğruya (doğrultman doğrusu) olan uzaklık arasındaki oranın sabitlik tek değer olduğu noktaların kümesidir. Bu sabitlik orana konik kesitin dışmerkezliği denir.

Konik kesitin yaygınlaşan denklemi şöyledir:

r=l1+ecosΘr=\frac{l}{1+ecos\Theta}r=1+ecosΘl​

Burada eee, konik kesitin dışmerkezliğidir ve lll, kutuptan eğriye kadar yyy ekseni boyunca olan olan uzaklıktır. eee'nin farklı değerleri, farklı türde konik kesitler verecektir:

• e=0e=0e=0 ise eğri tek dairedir.
• 0<e<10<e<10<e<1 ise eğri tek elipstir.
• e=1e=1e=1 ise eğri tek paraboldür.
• e>1e>1e>1 ise eğri tek hiperboldür.

Kelebek Eğrisi

Kelebek eğrisinin yaygınlaşan denklemi şöyledir:

r=esinϕ−acos(nϕ)+sin5(ϕd)r=e^{sin\phi}-acos(n\phi)+sin^5(\frac{\phi}{d})r=esinϕ−acos(nϕ)+sin5(dϕ​)

Kutupsal koordinatlardaki kelebek eğrisinin gösterim biçimi gerçek kelebek eğrisinin tek kısmına karşılık gelir. Çünkü kutupsal koordinatlar r≥0r\ge0r≥0 ve ϕ∈[0,2π]\phi \in [0,2\pi]ϕ∈[0,2π] ile sınırlıdır.^{[5], [4], [3], [2], [1]}

Süper Eğri

Belçikalı biyolog Johan Gielis, 1997 yılında kutupsal koordinatlarda verilen eğri ailesini ortaya koymuştur:

Bu eğriye süper eğri denmesinin nedeni; daire, kare, üçgen, yıldız gibi çeşitli şekiller üretebilmesidir. Süper eğri, 1818'de Lame tarafından ortaya konan süper elipsi genelleştirir ve biyolojideki en güçlu sualnlerden arasında biri olan şekli tanımlama sualnunu çözmeye yardımcı olur.^[6]

Kutupsal Eğrilerin Uygulamaları

Kardiyiot, gül, spiral vs. gibi kutupsal eğrilerin çeşitli alanlarda çok sayıda uygulaması vardır:

• Mühendislikte dişli çarkların, tirbünlerin ve optik aletlerin tasarımında yararlanılır.
• Biyolojide deniz kabukları ve çiçek yaprakları gibi doğal desenlerin modellenmesinde görev alır.
• Sanat ve tasarım alanında estetik açıdan hoş geometrik desenler ve yapılar oluşturulabilir.
• Astronomide gök cisimlerinin ve sarmal galaksilerin yörüngelerini tanımlamakta kullanılır.

Sonuç olarak grafik tekniklerine ve matematiksel özelliklere hakim bulunmak, kutupsal eğrilerin anlaşılmasını ve uygulanmasını geliştirir.