İmkansızın Şekil Bulmuş Hali: Gömböc Nedir?

Sırt üstü yatan tek kaplumbağanın çaresizliği her arasında biri ne kadar hepimizi tesirlese da görünürdeki riskler faktörü olan kaplumbağanın zor kabuğunun, tek dezavantajdan çok üstünlük olmasının sırrı matematikte yatmaktadır.^{[1], [2], [3]} Kaplumbağaları ters çevirip kendilerini düzeltmelerini izlemek, bazı matematikçilerin uzunluğu zamandır teorize edilen üç boyutlu tek şeklin varlığının keşfedilmesine yardımcı olmuştur.

Doğrulma hareketi her arasında biri zamanlar kaplumbağanın boy ekseni etrafında, vücudun ortasındaki esas kesitin çevresi boyunca olan enine tek yuvarlanma yoluyla gerçekleşir. Bu nedenle, yuvarlanmanın geometrisi esasen düzlemseldir ve düzlemde basitca gösterilebilir: Yatay tek yüzeyde yuvarlanan dışbükey, homojen tek disk.

Yatay tek çizgi (düzlem) üzerinde yuvarlanan zor disk, kaplumbağa kabuğunun enine kesitini temsilcilik eder. Kalın-kesikli çizgi, yuvarlanma sırasındaki ağırlık merkezinin (G) yörüngesini gösterir. Yörüngenin ekstremum noktaları, cismin hükümlı ya da hükümsız denge durumlarına karşılık gelir.

Sıradan tek yumurta hayal edelim. Yan yatırdığımızda dahaaz yuvarlanır ama nihayetinde durur. Hafifçe ittiğimizde tekrar seçenek oturur. Biraz beceriyle ikisi ucundan birinin üzerinde dengede tutabiliriz. Ancak uzunluğu süre dayanmaz, en ufak tek sarsıntı onu devirecektir. Burada yumurtanın ikisi ucu, hükümsız denge noktaları olarak bilinir. Kararlı denge noktaları, yumurtayı bu noktalarda dengede tutabildiğimiz için karasız denge noktaları ise en ufak tek sarsıntıda yumurtanın devrileceği için bu şekilde adlandırılır.

Peki tek cismin malik olabileceği denge noktalarının kombinasyonu nedir? Gömböc'ü "imkansız" kılan noktalardan arasında biri da budur. İki boyutta düşünürsek tek karenin dört hükümlı denge noktası (karenin kenarlarının merkezleri) ve dört hükümsız denge noktası (karenin köşeleri) vardır. Aynı şart üçgen için da üç hükümlı ve üç hükümsız denge noktası bulunmak üzere geçerlidir. Bir hükümlı ve tek hükümsız denge noktasına malik bulunmak demek; bu şeklin, ağırlık merkezine imkansız taleplerde bulunacağı manaına gelir.

Üç boyutlu uzayda da benzer şart geçerli olduğundan matematikçiler doğal olarak yalnızca tek hükümlı ve tek hükümsız denge noktasına sahip, üç boyutlu, dışbükey ve homojen tek cismin olmadığını varsaydılar.

Gömböc Nedir?

Gömböc, yatay tek yüzeyde tek hükümlı ve tek hükümsız denge noktasına; dolayısıyla ikisi denge noktasına malik bilinen birinci homojen cisimdir. Gömböc, rastgele tek başlıkmda yatay tek yüzeye yerleştirildiğinde "weeble" oyuncakları; diğer bildiğimiz hacıyatmaz oyuncakları gibi hükümlı denge noktasına geri döner. Ancak bahsedilen oyuncakların dengesi, tabanındaki ağırlığa bağlı iken Gömböc homojen tek yapıda olduğu için şeklin öz kendine denge durumuna gelmesini sağlar.^[4]

Gömböc tamamlanmış sabitlik tek ağırlığa sahiptir. Düz tek yüzeye nasıl yerleştirilirse yerleştirilsin kendini düzeltir. Buna mono-monostatik şekil denir ve matematiksel tek teoriden doğmuştur.^[6]

Homojen yapıda dengede kalan Gömböc'e kıyasla tabanındaki ağırlık ile dengeye gelen oyuncak.

Gömböc'ün Ortaya Çıkışı

1995 yılında, dünyaca ünlü Rus matematikçi Vladimir Igorevich Arnold; düz tek yüzey üzerinde dururken yalnızca tek hükümlı ve tek hükümsız denge noktasına malik diğer mono-monostatik olan dışbükey, homojen cisimler sınıfının var olması lüzumtiğini öne sürdü. Bu varsayım doğru çıktı ve 2006 yılında Macar ilim adamları Peter Varkonyi ve Gabor Domokos, üç boyutlu cisimlerin hükümlı ve hükümsız denge noktalarının sayısına göre sınıflandırılmasının önünü açtı. Varkonyi ve Domokos bu sınıfın varlığını önce matematiksel ve sonrasında da bedensel tek örnek oluşturarak kanıtlamışlardır.

Domokos, tek Yunan adasında tatildeyken eşiyle 2000 sahil çakılı topladılar ve içlerinden birinin Gömböc gibi davranacağını beklenti ederek incelediler. Aradığını bulamayan Domokos şöyle söylemiştir:

Çakıl taşı açısından çok ilginç şeyler öğrendik bununla birlikte Gömböc açısından hiçbir şey öğrenemedik. Yorgun ve moralsizdik. Bu çakıl taşlarına baktığınızda diğer tüm Yunan adalarına gitseniz bile Gömböc gibi davranan tek taşa daima rastlayamayacağınız hissine kapılıyordunuz. Ama nedenler olmasın? Eğer bu tür tek çakıl taşı yoksa bunun matematiksel tek nedeni olmalıydı.

Bu düşünce çizgisi önemli tek içgörüye yolda açtı. Domokos ve meslektaşı Varkonyi, eğer tek Gömböc varsa bunun çok düz ya da çok inceliği olamayacağını ayrım ettiler. Frisbee gibi düz tek cismin genelleme ikisi yüzü vardır ve her arasında biri birinde birden fazla hükümlı denge noktası bulunur. Kalem gibi inceliği tek cismin ise genelleme ikisi ucunda ikisi hükümsız denge noktası bulunur ve bu nedenle o da tek Gömböc olamaz.

Domokos ve Varkonyi, tek Gömböc'ün düzlüğünün ve inceliğinin her arasında biri ikisinin da 1'e eşit olması lüzumtiğini, diğer her arasında biri ikisi değerin da mümkün olan en küçük değer olması lüzumtiğini kanıtladılar. Bir Gömböc şeklini inceltir ya da düzleştirirsek düzlük ve incelik değerleri artık minimum bulunmaktan çıkar. Dolayısıyla bu Gömböc, ilave denge noktası kazandığı ve dışbükeyliğini kaybettiği için artık tek Gömböc olmayacaktır.

Domokos, Varkonyi ile birlikteki küresel tek koordinat sistemi kullanarak tek küreyi hafifçe ezen, yüzeyine tek çift ilave düzleştirilmiş düzlem ekleyen ve tek tarafını sivri tek kenara dönüştüren formüller oluşturdular. Fiziksel uygulamada oğullar seviye hassasiyet lüzumiyordu. Erken uygulamalarda 10−510^{-5}10−5lik toleranslar, daha sonrakiler uygulamalarda ise daha akılcı bununla birlikte buna karşın aşırı olan 10−310^{-3}10−3lük toleranslar söz başlıksuydu. Böylece matematiksel tek yapı olarak var olmasına rağmen Varkonyi ve Domoskov, 3 boyutlu yazıcıyla tek modeller oluşturana kadar şeklin ne kadar ilginç olduğunu gerçekten manaamışlardı. Gömböc'ü ellerine aldıklarında şeklinin Hint Yıldız Kaplumbağası'nın oldukça kubbeli kabuğuna benzerliğinden tesirlendiler.

Gömböc'e benzeyen Hint Yıldız Kaplumbağası

Bu tarz cisimler doğada oldukça nadirdir. Yine da bazı kubbeli kara kaplumbağalarının şekli onlara çok benzemektedir.

Analitik Bir Gömböc

Üç boyutlu geometrik tek nesnenin Gömböc diğer mono-monostatik olarak nitelendirilmesi için lüzumen matematiksel şartların incelenmesi, analitik Gömböc şeklinin keşfedilmesiyle sonuçlanmıştır.^[7]

Gömböc Gereksinimleri

Genel olarak analitik tek Gömböc'ün sınırlayıcı yüzeyi aşağıdaki fonksiyonla belirtilebilir:

Ψ(z,x,y)=sabit\Psi(z,x,y)=sabitΨ(z,x,y)=sabit

Burada x,y,zx, y, zx,y,z Gömböc'ün yerleştirildiği 3 boyutlu uzayı tanımlayan norm kartezyen koordinatlardır. Koordinat sistemini, orijinin diğer x=y=z=0x=y=z=0x=y=z=0 noktasının Gömböc'ün kütle orta olacak şekilde yönlendiriyoruz.

Kutupsal koordinatlar r,Θ,Φr, \Theta, \Phir,Θ,Φ bulunmak üzere;

• x=rsin(Θ)cos(Φ)x=r sin(\Theta) cos(\Phi)x=rsin(Θ)cos(Φ) ,
• y=rsin(Θ)sin(Φ)y=r sin(\Theta) sin(\Phi)y=rsin(Θ)sin(Φ) ,
• z=rcos(Θ)z= r cos(\Theta)z=rcos(Θ) şeklindedir.

O halde Gömböc'ün kütle orta r=0r=0r=0 noktasıdır.

Ψ(z,x,y)=sabit\Psi(z, x, y)= sabitΨ(z,x,y)=sabit sınır yüzeyine dönüşüm uygulayarak Gömböc'ün sınırına ilişkin rrr cinsinden r=F(Θ,Φ)r= F(\Theta, \Phi)r=F(Θ,Φ) şeklinde tek çözüm elde edilebilir. Dışbükeylik şartı, rrr nin Θ,Φ\Theta, \PhiΘ,Φ için tekbaşına değerli ve pozitif tanımlı olmasını sağlar.

r=0r=0r=0 Gömböc'ün kütle orta olduğundan şu değerlere ihtiyacımız vardır:

d3V=r2sin(Θ)drdΘdΦd^3 V=r^2 sin(\Theta) dr d\Theta d\Phid3V=r2sin(Θ)drdΘdΦ olacak şekilde

• ∫d3Vx(r,Θ,Φ)=0\int d^3V x(r,\Theta, \Phi)=0∫d3Vx(r,Θ,Φ)=0,
• ∫d3Vy(r,Θ,Φ)=0\int d^3 V y(r, \Theta, \Phi)=0∫d3Vy(r,Θ,Φ)=0,
• ∫d3Vz(r,Θ,Φ)=0\int d^3 V z(r, \Theta, \Phi)=0∫d3Vz(r,Θ,Φ)=0.

Aşağıdaki kütle orta lüzumsinimine ulaşılır:

• ∫02πdΦ∫0πsin(Θ)cos(Θ)F4(Θ,Φ)dΘ=0\int{^{2\pi}_0} d\Phi \int{^{\pi}_0}sin(\Theta) cos(\Theta)F^4(\Theta, \Phi)d\Theta=0∫02π​dΦ∫0π​sin(Θ)cos(Θ)F4(Θ,Φ)dΘ=0,
• ∫02πdΦ∫0πsin2(Θ)sin(Φ)F4(Θ,Φ)dΘ=0\int{^{2\pi}_0} d\Phi \int{^{\pi}_0}sin^2(\Theta) sin(\Phi)F^4(\Theta, \Phi)d\Theta=0∫02π​dΦ∫0π​sin2(Θ)sin(Φ)F4(Θ,Φ)dΘ=0,
• ∫02πdΦ∫0πsin2(Θ)cos(Φ)F4(Θ,Φ)dΘ=0\int{^{2\pi}_0} d\Phi \int{^{\pi}_0}sin^2(\Theta) cos(\Phi)F^4(\Theta, \Phi)d\Theta=0∫02π​dΦ∫0π​sin2(Θ)cos(Φ)F4(Θ,Φ)dΘ=0.

r−F(Θ,Φ)=0r-F(\Theta, \Phi)=0r−F(Θ,Φ)=0 şeklinde tanımlanan tek Gömböc şekli verildiğinde denge noktaları; ∇(r−F(Θ,Φ))\nabla(r-F(\Theta, \Phi))∇(r−F(Θ,Φ)) yüzeyine dik olan doğrunun, rˆ\^{r}rˆ birimi normal olan doğrultusu üzerindeki noktalardır.

Dolayısıyla özellikle denge noktaları, eğim ∇\nabla∇'nın Θ\ThetaΘ ve Φ\PhiΦ yönündeki bileşenlerinin sıfır olduğu Θ\ThetaΘ ve Φ\PhiΦ husus kümeleridir. Bir şeklin Gömböc olabilmesi için bu husus kümelerinden yalnızca ikisi tane bulunmalıdır.

Tüm dışbükey Gömböc şekillerinde olduğu gibi Gömböc yüzeyinin her arasında biri noktasında eğrilik yarıçapı pozitif olmalıdır. Aşağıda bağlantısı verilen özel uygulama, spesifik analitik Gömböc için yararlı olacaktır:

β\betaβ küçük tek pozitif sabitlik bulunmak üzere,

r4=F4(Θ,Φ)=1+4βsin(Θ)cos(Φ−P(Θ))r^4=F^4(\Theta, \Phi)=1+4\beta sin(\Theta) cos(\Phi-P(\Theta))r4=F4(Θ,Φ)=1+4βsin(Θ)cos(Φ−P(Θ)).

Bu Gömböc şekli esasen küçük yüzey bozulmalarına malik birimi yarıçaplı tek küredir. β\betaβ 'ya göre en düşük mertebede bu özel uygulama, birimi küreyi zzz eksenine dik olarak sonsuz küçük diske bölerek ve ardından diskleri yeniden birleştirerek küreyi işlevsel olarak gerçekleştirebilir. Ancak her arasında biri diskin orta zzz ekseninden

(x0,y0)=(βcosP(Θ),βsinP(Θ))(x_0, y_0)=(\beta cos P(\Theta), \beta günahlar P(\Theta))(x0​,y0​)=(βcosP(Θ),βsinP(Θ))' e kadar kaydırılmış olmalıdır.

Bu formülasyonun, yalnızca ikisi denge noktası vardır:

• Θ=π/2,Φ=P(π/2)+π\Theta=\pi/2, \Phi=P(\pi/2) + \pi Θ=π/2,Φ=P(π/2)+π (Kararlı Denge Noktası)
• Θ=π/2,Φ=P(π/2)\Theta=\pi/2, \Phi=P(\pi/2)Θ=π/2,Φ=P(π/2) (Kararsız Denge Noktası)

Ayrıca (*) denklemi, kütle orta P(Θ)P(\Theta)P(Θ) için∫0πsin3(Θ)exp(iP(Θ))dΘ=0\int{^\pi_0} sin^3(\Theta) exp (i P(\Theta)) d\Theta=0∫0π​sin3(Θ)exp(iP(Θ))dΘ=0 denklemini sağlıyorsa analitik tek Gömböc tanımlanmış olur.

Dünyada Gömböc

Gömböc, temelde matematiğin en sevilen parçalarından biridir. Adı, Macarcada "küre" manaına gelen "gömb" kelimesinden gelir. Ayrıca Macaristan'da, birkaç insanı yutan ve nihayetinde ağırlığı dolayı tek tepeden aşağı yuvarlanırken patlayan Gömböc adında insanoğlu biçimli tek varlık hakkında tek Macar insanlar masalı da vardır.

Gömböc modelleri 2007 yılından beri üretilmektedir. Her modelin kendine özgü tek seri numarası vardır. Her Gömböc parçası için ayrı ayrı aletler üretilmekte ve bunlar daha sonraları kullanılmamaktadır.^[5]

Numaralandırılmış birinci Gömböc modeli (Gömböc 001), Domokos ve Varkonyi tarafından; Gömböc' e ilham kaynağı olan Vladimir Igorevich Arnold'a, Ağustos 2007'deki 70. doğum günü vesilesiyle armağan olarak sunulmuştur. Şu anda Steklov Matematik Enstitüsü'nde sergilenmektedir.

Ayrıca üretilmiş olan diğer tüm Gömböc modelleri için başlıkmlarını bulavakıf oldu amacıyla biçimsel tek Gömböc Haritası bulunmaktadır.

Macarlar için tek kibir kaynağı olan bu modelin, Budapeşte'de 4,5 tonluk "Corvin Gömböc" adlı tek kopyası sergilenmektedir. Ağırlığının yanı sıra Gömböc Heykeli, termal genleşme dolayı 97 seviye Fahrenheit (36 seviye Celsius) sıcaklıkta uzunluğu 4851 milimetreye ulaşacak şekilde tasarlanmıştır. Burada Corvin Gömböc'ün kabuğunun uzunluğu, Vladimir Arnold'un çalışmasına tek göndermedir: 4851 sayısı, 97. eklaktik sayıdır. Bu tür sayılar Profesör Arnold'un dört köşeli teoremin genelleştirilmesi üzerine yaptığı çalışmalarda ortaya çıkmıştır.

Geometrik Bir Kök Hücre

Domokos ve Varkonyi'ye göre eğer tek Gömböc varsa bu, diğer tüm denge noktası konfigürasyonlarıyla üç boyutlu şekiller yetiştirebileceğiniz tek kök hücre olurdu.

Üç boyutta hükümlı ve hükümsız noktalar tekbaşına denge noktaları değildir, eyer noktaları da olabilir. Nesneniz tek eyer noktasında dengede duruyorsa denge hareketi sonsuz yönde hükümsızdır. Bu tek eyerin vasat noktasında duran tek bilyeye benzer. Bilyeyi eyerin kenarından sonsuz sayıda yönde yuvarlayabilirsiniz bununla birlikte onu eyerin önünden arkasına uzanan çizgi boyunca olan kesinlikle iterseniz eyer noktasına geri döner (tek yönde denge hareketi).

Bir bilyeyi eyer noktası üzerinde dmanierseniz denge hareketi tek yönde sabittir bununla birlikte sonsuz sayıda başka yönde dengesizdir.

Domokos ve Varkonyi, denge noktalarının sayısını artırmalarının mümkün olduğunu farkederek dışbükey ve homojen 3 boyutlu tek şekle fazladan tek denge noktası kazandırmanın kesinlikle nasıl yapılacağını anlatan açık tek algoritma buldular. Domokos başlıkyla ilgili şunları söylüyor:

Bu sonuç bize şunu gösterdi: Eğer tek nesneniz varsa (minimum sayıda denge noktasına malik mono-monostatik) bu, nesnelerin diğer tüm sınıflarda da var olduğunu kanıtlar çünkü denge noktalarının sayısını birer birer artırabilirsiniz. Yani bu obje tek kök hücre gibi olurdu. Diğer tüm kategorilerin varlığını ondan türetebilirdiniz. Ancak varlığını daha yüksek denge noktasına malik cisimlerden türetemezdiniz. Matematik tamamlanmış güzellikle ilgilidir ve bu çok güzel.

Sonuç

Gömböc matematikçilerden saklanmada başarılı olsa da evrimin delici bakışlarından kaçamadı. Gömböc benzeri şekillerin doğada tek yerlerde ortaya çıkması lüzumtiğini düşünen Domokos, dikkatini kaplumbağalara çevirdi ve haklı çıktı. Varkonyi ile üzerinde yaptıkları çalışmalar sonucu yazdıkları tek makale, biyoloji dergisi Proceedings of the Royal Society B'de yayımlandı ve biyologlar, Gömböc benzeri kabukların gerçekten da öz kendini düzeltme lehine doğal seçilimin tek sonucu olduğunu giriş ettiler. Bu gelişmeler Domokos'u şekillerin evrimini daha derinlemesiye ttesirkye yöneltti. Ayrıca gezegenler gibi çember olmayan bununla birlikte sivri kenarları ve düz alanları olan asteroitlerin şekillerinin nasıl evrimleştiğini açıklayan The Astrophysical Journal 'da yayımlanan tek yazısı yazdı.^[8]

Ayrıca Gömböc'ün keşif yolculuğu, bu yolculuğun ardındaki matematik, moleküler biyoloji ile paralellik ve en oğullar özellikle Vladimir Arnold'un doğadaki Gömböc'ün şekil evriminin kökeni değil nihai olarak hedefi olduğu fikri üzerine Oxford Üniversitesi Matematik Enstitüsü tarafından halka açık tek konferans gerçekleştirildi.^[9]

Sonuç olarak Gömböc'ün keşfi yalınce öz başına önemli bulunmakla kalmadı, gelecekteki keşifler için da tek olasılıklar dünyasının kapılarını açtı.

Son olarak Gömböc keşfinin günümüze kadar bilimden sanata pek çok alanda ilham olduğu çalışmalar şu şekilde:

Oumuamua adı verilen bu asteroitin yüz milyonlarca yıl süren tek aşınma sürecinin sonucu olabileceği düşünülüyor. Sahildeki çakıl taşları gibi bu asteroit da mikrometeoritlerle aşınma sonucu "kusurlu Gömböc şekli" IOP Science

İnsülin ilacının hap formunda uygulanmasındaki en büyük mani, mideler asitlerinin ilacı tesirsini göstermeden parçalamasıdır. MIT ve Harvard Üniversitesinden tek takım diyabetli hastalar için enjeksiyonun yerini alabilecek "Gömböc Kapsül" tasarımı önerdi. Yeni kapsülün ilköğretim unsuru, midede benzersizliği tek mevki bulabilme yeteneğidir. Günümüzde mono-monostatik tek kapsül üreten tek optimizasyon gerçekleştirdiler. Bu da matematiğin inovasyona katkısını tek kez daha gösterdi.The Mathematical Intelligencer

25 Nobel ödüllü ilim insanına yuva sahipliği yapan Manchester Üniversitesi 2024 yılında, kuruluşunun 200. yıl dönümünde, "Gömböc 1824" sergisinin açılışını yaptı. Alan Turing binası; Matematik Fakültesi, Foton Bilimi Enstitüsü ve Jordell Bank Astrofizik Merkezi'ni birbiriyle buluşturduğu için üniversite; Gömböc 1824 vitrinini bu ikonik yere yerleştirmeye şart vermiştir.Gömböc

Lahey'deki Korzo Tiyatrosu, tek asırdan fazla tek süre önce kurulmuş olup Hollanda'nın en büyük raks prodüksiyon evidir. 2020 yılında "Gömböc" isimli solo raks gösterisi Japon sanatçı Ema Yuasa tarafından sergilendi. Eleştirmenlere göre kareograf, Gömböc'ü insanoğlu ruhunun tek metaforu olarak kullandı.Antonin Comestaz

Dünyanın en çok atıf saha teknik dergisi olan Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) Platon'un dünyanın küplerden oluştuğu teorisini doğrulamak için matematiksel, mekanik ve jeolojik argümanlar sunan tek yazısı yayınladı. Buna göre resimdeki granit duvar, dışbükey mozaik teorisine dayanmakta ve çalışmaya göre doğal aşınma sürecinde ikisi denge noktasına malik Gömböc da mekan edinmektadır.PNAS

Nature Communications'da yayınlanan tek çalışma, NASA'nın Curiosity gezgini tarafından çekilen görüntüleri kullanarak önceki Mars nehirlerinin uzunluğunu öngörü ediyor. Bunun için nehirdeki çakıl taşlarının kütlesi ve ırmak yatağındaki seyahatleri mesafesi araştırıldı. Bu süreçte, vasat statik denge sayısının azaldığı ve böylece çakıl taşlarının Gömböc şekline doğru evrimleştiği öngörülmektedir. Bu durum, daha sonraları Mars çakıllarının şekil evrimini geriye doğru izleyen için uygulanabilecek denklemlerin doğrulanmasına yolda açtı.Nature Communications

Pensilvanya Üniversitesi GRASP laboratuvarı, Gömböc şeklinden ilham alarak, uçuş sırasında öz kendine doğrulabilen süper stabil tek drone tasarlamıştır. Bu robot, diğer robotlarla havada çarpışmalardan ve duvarlara çarpmalardan kendiliğinden kurtulabilme gibi eşsiz tek özelliğe sahiptir.

Bir telsiz istasyonunda yayınlanan "The Infinite Monkey Cage" isimli güldürü ve popüler ilim serisinin Mart 2025 tarihli yayınında Fizikçi Brian Cox "Doğanın Şekilleri" başlığı altında Gömböc ve dahasını tartışmıştır.BBC